10 задание ОГЭ по информатике
Тема: "Сравнение чисел в различных системах счисления"
Данное задание проверяет ваши умения переводить числа из одной системы счисления (далее СС) в другую.
Система счисления - это способ записи чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
Разделяют позиционные и непозиционные СС.
В этом задании мы будем работать только с позиционными СС, то есть с такими СС, в которых значение каждого числового знака в записи числа зависит от его позиции (разряда).
В каждой СС есть свой алфавит - те числовые знаки, которые используются для записи числа. Количество знаков алфавита СС равно ее основанию.
Приведем примеры самых распространенных СС:
| Название СС | Обозначение | Алфавит |
| Десятичная | X10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Двоичная | X2 | 0, 1 |
| Восьмиричная | X8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Шестнадцатиричная | X16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Та СС, которой мы пользуемся в жизни - десятичная. По таблице мы и видим, что для записи чисел мы используем только 10 цифр от 0 до 9.
Для успешного выполнения этого задания нам необходимо научиться двум действиям:
1) Перевод чисел из любой СС в десятичную (для этого нужно записать число в развернутой форме и посчитать).
2) Перевод из десятичной СС в любую другую (используется метод деления с остатком).
Будем разбирать эти методы непосредственно на примерах.
Задание 1.
Переведите двоичное число 1100110 в десятичную систему счисления (основание системы счисления в ответе указывать не нужно).
Решение:
Для начала нам нужно пронумеровать разряды числа, начиная с 0 (нулевого) справа налево:
Далее запишем число в развернутой форме, для этого нам необходимо каждую цифру числа умножить на основание системы счисления (у нас = 2, двоичная) в той степени, в которой находится цифра, и все сложить.
Далее необходимо все посчитать в привычной нам десятичной системе счисления:
Ответ: 102
Важное математическое правило: любое число в нулевой степени равно 1!
Задание 2.
Число 2023n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите значение n, при котором данное число минимально. Для этого значения n в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:
Когда мы переводим число из любой системы счисления в десятичную, мы каждую цифру умножаем на основание этой системы счисления. Поэтому, чтобы число в десятичной системе счисления было минимальным, нам нужно взять минимально возможное основание.
В записи этого числа используются цифры: 0, 2, 3. Поэтому минимальное возможное основание будет 4. Запишем наше число и поставим разряды:
Далее запишем число в развернутой форме:
И посчитать:
Для проверки, можете представить число в другой системе счисления, например, в пятеричной и убедиться, что оно будет больше.
Ответ: 139
Задание 3.
Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
2F16, 6678, 10000011012.
Решение:
Перед нами классическое задание. Необходимо сравнить 3 числа, записанных в разных системах счисления, и в ответ записать максимальное в десятичной.
Для того, чтобы мы могли из сравнить, нужно, чтобы они были записаны в одной и той же системе счисления. А значит нам нужно их перевести. Удобней всего переводить все в десятичную систему счисления, так как в ней и нужно записать ответ.
1) Поподробней разберем первое число 2F16, так как мы впервые встретили буквенное обозначение.
На самом деле, если основание системы счисления больше 10, то следующие после 9 цифры заменяются буквами. Представим таблицу соответствия десятичной системы счисления и шестнадцатиричной.
| Десятичная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Шестнадцатиричная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Переведем число, запишем разряды:
2) Переведем число 6678 в десятичную систему счисления:
3) Переведем число 10000011012 в десятичную систему счисления:
Заметим, что нули в числе мы пропустили, так как очевидно, что при умножении на 0 будет 0, который не влияет на дальнейшую сумму.
Теперь осталось только сравнить 3 числа и в ответ записать максимальное. Числа: 4710, 43910, 52510.
Максимальное из них - 525.
Ответ: 525
Задание 4.
Переведите десятичное число 115 в двоичную систему счисления (основание системы счисления в ответе указывать не нужно).
Решение:
Для того, чтобы перевести десятичное число в любую систему счисления, нужно делить это число с остатком до тех пор, пока последний остаток не будет меньше нужного нам основания системы счисления. Деление столбиком с остатком вы проходили еще во 2 классе, давайте вспомним, как это делать.
Разделим число 115 на 2 (так как по заданию нам надо число перевести в двоичную систему счисления):
Получили 57 целых и 1 в остатке. Продолжаем дальше делить 57 на 2:
Получили 28 целых и 1 в остатке. Продолжаем до тех пор, пока целая часть не будет меньше 2:
И теперь запишем все остатки, начиная с конца, это и будет наш ответ:
Значит:
Ответ: 1110011
Задание 5.
Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной записи которого наименьшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.
10010, 9010, 8010.
Решение:
Нам представлены три числа в десятичной системе счисления. По заданию необходимо перевести каждое число в двоичную систему счисления. В каждом посчитать количество единиц, найти где их меньше всего и записать их количество в ответ. Переведем все три числа методом, рассмотренным во 2 задании.
Получили:
Наименьшее количество единиц (2) у числа 80.
Ответ: 2
Задание 6.
Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной записи наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.
8610, 9910, 10510.
Решение:
Задание похоже на предыдущее, только теперь нам нужно перевести все числа в восьмиричную систему счисления. Для это будем делить с остатком на основание = 8.
Получили:
Нужно найти такое число, сумма цифр которого в восьмиричной записи наименьшая:
Наименьшая сумма цифр будет у последнего числа, её и запишем в ответ.
Ответ: 7
Задание 7.
Сколько натуральных чисел расположено в интервале
5F16 < X < 1508
Решение:
Удобнее перевести числа из шестнадцатиричной и восьмиричной систем счисления в десятичную, и посчитать:
Получили новое двойное неравенство:
Видим, что числа 95 и 104 не подходят нам по условию.
На подходят: 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103. Таких чисел: 8
Ответ: 8
Задание 8.
Найдите значение выражения
1536 + 10111012 • 1235
Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение:
Естественно все арифметические операции мы можем производить только в одинаковых системах счисления, но удобней всего производить из в десятичной (тем более ответ и нужно записать в ней).
Переведем все числа из выражения в десятичную систему счисления:
Запишем новое выражение и посчитаем, не забывая про правила математики:
Ответ: 3603